这里呢，我将用图跟你感性地解答这个问题，请你注意，以下我所要讲的不是一个严格的证明过程，如果想要更准确地理解这个问题，你可以试着借助“同余式”来理解。下面，就开始我们的非严谨图例演示。
你好，我是胡光。
不知不觉，我们已经讲完了“算法数据结构篇”的全部内容。说是“讲完”，其实更意味着你的算法数据结构的学习之路才刚刚开始，因为编程的核心与灵魂就是算法和数据结构。但这毕竟是一个入门课，所以，整个这部分的内容，我更多是侧重说说那些你可能比较陌生的，且有趣的思维与结构。
我希望通过这个过程，能够激起你对于算法数据结构的学习热情。时至今日，我相信你应该更能深刻地理解我在开篇词里说到的，“学编程，不等于学语言“这句话的含义。
我也非常高兴，看到很多同学都在紧跟着专栏更新节奏，坚持学习。经常在专栏上线的第一时间，这些同学就给我留言，提出自己的疑惑。大部分留言，我都在相对应的课程中回复过了，而对于每节课中的思考题呢，由于要给你充足的思考时间，所以我选择在今天这样一节课中，给你进行一一的解答。
看一看我的参考答案，和你的思考结果之间，有什么不同吧。也欢迎你在留言区中，给出一些你感兴趣的题目的思考结果，我希望我们能在这个过程中，碰撞出更多智慧的火花。
在这一节里，我们学习了基本的链表结构，并且演示了链表结构的插入操作。最后呢，给你留了一个题目，就是实现链表的删除操作。留言区中很多人实现的代码，我也都看过了，总的来说，很多用户对“虚拟头结点”的掌握还是很不错的，下面是我给出的参考代码：
struct Node *erase(strcut Node *head, int ind) {
struct Node ret, *p = &ret, *q;
ret.next = head;
while (ind--) p = p->next;
q = p->next;
p->next = p->next->next;
return ret.next;
}
由于删除操作，有可能删除的是 head 所指向链表的头结点，所以代码中使用了虚拟头结点的技巧来实现。其中，细心的你可能会发现一个致命的问题：删除节点的操作中，我们只是改变了链表节点的指向关系，跳过了那个待删除节点的位置，那原先那个待删除节点呢？这个节点的空间呢？
这就涉及到操作系统中的内存管理相关的知识了，由于这里不影响编程逻辑的理解，所以，我们就不展开说了。如果你感兴趣，可以自行搜索：内存泄漏、malloc、free 等关键字进行学习。
这一节是上一节链表知识的升华，我们将一个快乐数序列，在思维层面映射成了链表结构，之后就将快乐数的判定问题，很自然的转换成了链表判环问题，算是彻彻底底的体验了一把链表思维。最后呢，我留了两个思考题，下面我给你一一解答。
第一个问题，如果链表中有环的话，那么这个环的长度是多少？这个问题比较简单，我看到留言区中很多用户都能自行想出来，在这里我就简单说一说。
我们可以肯定，如果链表中有环，那么采用快慢指针的方法，两个指针一定会在环中相遇。此时，可以让其中一个指针不动，另外一个指针再沿着环走一圈，直到两个指针再次相遇，这样，就能得到环的长度了。
第二个问题，如果链表中有环，请求出环的起始点。如下图所示，环的起始点为 3 号点。
这里呢，我将用图跟你感性地解答这个问题，请你注意，以下我所要讲的不是一个严格的证明过程，如果想要更准确地理解这个问题，你可以试着借助“同余式”来理解。下面，就开始我们的非严谨图例演示。
首先，假设从链表起始点到环的起点距离为 x，那么当快慢指针中的慢指针 p 刚刚走到环的起始点位置的时候，q 指针应该在环内部距离环起始点 x 的位置上，如图所示：
图中，q 指针距离环起始点 x 步，q 指针沿着链表向前走 y 步，就又可以到达环的起始点位置，如图所示 x + y 等于环长。也就是说，q 指针想要遇到 p 指针，就必须要追上 y 步的距离，又因为 p 指针每次走 1 步，q 指针每轮走 2 步，所以 q 指针每轮追上1步，也就是说，从此刻开始，当 q 指针追上 p 指针的时候，p 指针正好向前走了y 步，如图所示：
此时，你会发现 p 点在环中走了 y 步以后，p 和 q 相遇了，也就意味着 p 点再走 x 步就到环的起始点了。而恰巧，从链表头结点开始到环的起始点也是 x 步，所以此时只需要让 p 站在相遇点，q 指针回到链表的起始点，然后两个指针以相同的速度，一起往后走，直到二者再次相遇的时候，相遇点就是环的起始点了。
至此，我们就看完了求解环起始点位置的方法，至于代码么，就不是难题了，你可以自行发挥了。
这一节中呢，我们学习了简单的二分查找算法，由此我们引申出了二分答案的相关算法。二分答案算法的应用场景呢，就是有一个函数 f(x) = y，如果它具有单调性，并且通过 x 求 y 很好求，而通过 y 确定 x 就很麻烦，这时，二分答案算法就该登场了。
最后的思考题中呢，是一道通过税后工资，计算税前工资的题目。我们可以发现，根据个人所得税缴纳的规则，肯定是税前工资越高，税后工资就越高，所以我们把税前工资 x 和税后工资 y 之间，看成是一个映射关系 f 的话，那么 f(x) = y 的函数，就是单调函数。
而这个 f 函数呢，我们也可以看到，通过税前工资 x 确定税后工资 y 的过程很简单，而通过税后工资 y 计算税前工资 x 的过程就不那么容易了。因此，我们当然要搬出二分答案算法，来解决这个问题了。下面是我给出的示例代码：
#define EPS 1e-7
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
double f(double x) {
double xx = min(3000, x) * 0.03;
if (x > 3000) {
xx += (min(12000, x) - 3000) * 0.1;
}
if (x > 12000) {
xx += (min(25000, x) - 12000) * 0.2;
}
if (xx > 25000) {
xx += (min(35000, x) - 25000) * 0.25;
}
return x - xx;
}
double binary_search(double l, double r, double y) {
if (r - l <= EPS) return l;
double mid = (l + r) / 2.0;
if (f(mid) < y) return binary_search(mid, r, y);
return binary_search(l, mid, y);
}
你会发现，代码中的 binary_search 函数，和我们那一讲中所给的切绳子问题的代码几乎一模一样，唯一不同的就是 f 函数换了样子。
其实对于二分答案的算法实现，代码真的不是什么难点，难点在于发现问题可以采用二分算法的过程。也就是看到那两条性质判断：f(x)=y是不是具有单调性；是不是通过x求y比较容易，通过y求x比较困难。
本节呢，我们学习了栈和单调栈的基本知识，并且知道了单调栈是用来维护最近大于或小于关系的数据结构。最后的思考题呢，是判断一个括号序列是否是合法的，所谓合法的括号序列，也就是括号之间要么是完全包含，要么是并列无关。
根据栈的基础知识，如果我们把一个元素入栈动作看成是左括号，出栈看成是对应的右括号，那么一组元素的入栈及出栈操作，就可以唯一对应到一个合法的括号序列。例如，如下操作序列：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
push push pop pop push push pop push pop pop
其中 push 是入栈操作，pop 是出栈操作。显然，3号的 pop 操作，弹出的应该是 2 号push 进去的元素，也就是 2 号和 3 号操作是一对操作。那么把 push 写成左括号，pop 写成右括号，如上操作序列，就可以对应如下的括号序列：
【（）】{【】【】}
你会发现，相对应的左右括号，就对应了相匹配的 push 和 pop 操作。那么判断一个括号序列是否合法，就可以把这个括号序列看成是一组入栈和出栈操作。
我们依次处理括号序列中的每一位，碰到左括号就入栈；碰到右括号，我们就弹出栈顶的一个左括号，看看是否和当前右括号是匹配的，如果不匹配就说明括号序列非法，如果匹配，就继续处理下一个括号序列中的字符。直到最后，如果栈中为空，就说明原括号序列合法。
好了，至此我们就讲完了这道题目的解题思路，接下来就是请你把我说的解题思路，转换成代码了，加油！如果实在想不出来，也可以参考用户 @胖胖胖 、@Hunter Liu 在留言区中的代码和解题思路。
在这一节课，我们认识了背包类动态规划算法，讲了0/1背包问题，以及多重背包问题转0/1背包问题的转换技巧。其中我们提到了用二进制拆分法对多重背包拆分过程进行优化，这样不但可以大大减少拆分出来的物品数量，并且还不影响转换成等价的 0/1背包问题。
关于动态规划状态定义的相关理解，这里给用户 @徐洲更 点赞，大家可以在《动态规划（上）：只需四步，搞定动态规划算法设计》当中看到他的留言。
下面呢，我就给出多重背包转 0/1背包的示例代码：
#define MAX_N 100
#define MAX_W 10000
int v[MAX_N + 5], w[MAX_N + 5], c[MAX_N + 5];
int v1[MAX_N + 5], w1[MAX_N + 5], n2 = 0;
int dp[MAX_N + 5][MAX_W + 5];
// 添加一个0/1背包中的物品
void add_item(int v_value, int w_value) {
n2++;
v1[n2] = v_value;
w1[n2] = w_value;
return ;
}
int get_dp(int n, int W) {
// 对多重背包中的每一种物品进行拆分
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 采用二进制拆分法
for (int k = 1; k <= c[i]; c[i] -= k, k <<= 1) {
add_item(k * v[i], k * w[i]);
}
if (c[i]) add_item(c[i] * v[i], c[i] * w[i]);
}
// 按照0/1背包的方式进行求解
for (int i = 1; i <= n2; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j < w1[i]) continue;
if (dp[i - 1][j - w1[i]] + v1[i] < dp[i][j]) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j - w1[i]] + v1[i];
}
}
return 0;
}
代码中，v、w、c 数组存储的是多重背包中第 i 种物品的价值、重量和数量，v1、w1 数组用来存储拆分出来的0/1背包中的物品价值和重量信息，get_dp 函数就是求解多重背包问题的过程。
其中，分成两步进行求解，首先对多重背包中的每种物品，按照二进制拆分法，打包拆分成0/1背包中的若干个物品。拆分完成后，再按照0/1背包的算法流程进行求解，需要注意的是，代码中的循环变量 k，枚举的就是拆分的每一堆的物品数量，从数量 1 开始，每次扩大一倍。
对于多重背包中的每种物品，经过二进制拆分以后，最后剩下的几个，要单独算作一个物品，这就是代码第 22 行的含义。理解了二进制拆分的过程以后，后面的0/1背包的求解过程，就不需要我来解释了，都是老生常谈了。
好了，今天的思考题答疑就结束了，如果你还有什么不清楚，或者有更好的想法，欢迎告诉我，我们留言区见！
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