上一篇中，我和你专门聊到了矩阵分解，在这篇文章的开始，我再为你回顾一下矩阵分解。

回顾矩阵分解

矩阵分解要将用户物品评分矩阵分解成两个小矩阵，一个矩阵是代表用户偏好的用户隐因子向量组成，另一个矩阵是代表物品语义主题的隐因子向量组成。

这两个小矩阵相乘后得到的矩阵，维度和原来的用户物品评分矩阵一模一样。比如原来矩阵维度是m x n，其中m是用户数量，n是物品数量，再假如分解后的隐因子向量是k个，那么用户隐因子向量组成的矩阵就是m x k，物品隐因子向量组成的矩阵就是n x k。

得到的这两个矩阵有这么几个特点：

1. 每个用户对应一个k维向量，每个物品也对应一个k维向量，就是所谓的隐因子向量，因为是无中生有变出来的，所以叫做“隐因子”；
2. 两个矩阵相乘后，就得到了任何一个用户对任何一个物品的预测评分，具体这个评分靠不靠谱，那就是看功夫了。

所以矩阵分解，所做的事就是矩阵填充。那到底怎么填充呢，换句话也就是说两个小矩阵怎么得到呢？

按照机器学习的套路，就是使用优化算法求解下面这个损失函数：

$$ \min_{q^{* },p^{* } } \sum_{(u,i) \in \kappa }{(r_{ui} - p_{u}q_{i}^{T})^{2} + \lambda (||q_{i}||^{2} + ||p_{u}||^{2})} $$

这个公式依然由两部分构成：加号左边是误差平方和，加号右边是分解后参数的平方。

这种模式可以套在几乎所有的机器学习训练中：就是一个负责衡量模型准不准，另一个负责衡量模型稳不稳定。行话是这样说的：一个衡量模型的偏差，一个衡量模型的方差。偏差大的模型欠拟合，方差大的模型过拟合。

有了这个目标函数后，就要用到优化算法找到能使它最小的参数。优化方法常用的选择有两个，一个是随机梯度下降（SGD），另一个是交替最小二乘（ALS）。

在实际应用中，交替最小二乘更常用一些，这也是社交巨头Facebook在他们的推荐系统中选择的主要矩阵分解方法，今天，我就专门聊一聊交替最小二乘求矩阵分解。

交替最小二乘原理 (ALS)

交替最小二乘的核心是交替，什么意思呢？你的任务是找到两个矩阵P和Q，让它们相乘后约等于原矩阵R：

$$ R_{m \times n} = P_{m \times k} \times Q^{T}_{n \times k} $$

难就难在，P和Q两个都是未知的，如果知道其中一个的话，就可以按照线性代数标准解法求得，比如如果知道了Q，那么P就可以这样算：

$$ P_{m \times k} = R_{m \times n} \times Q^{-1}_{n \times k}$$

也就是R矩阵乘以Q矩阵的逆矩阵就得到了结果。

反之知道了P再求Q也一样。交替最小二乘通过迭代的方式解决了这个鸡生蛋蛋生鸡的难题：

1. 初始化随机矩阵Q里面的元素值；
2. 把Q矩阵当做已知的，直接用线性代数的方法求得矩阵P；
3. 得到了矩阵P后，把P当做已知的，故技重施，回去求解矩阵Q；
4. 上面两个过程交替进行，一直到误差可以接受为止。

你看吧，机器就是这么单纯善良，先用一个假的结果让算法先运转起来，然后不断迭代最终得到想要的结果。这和做互联网C2C平台的思路也一样，告诉买家说：快来这里，我们是万能的，什么都能买到！

买家来了后又去告诉卖家们说：快来这里开店，我这里掌握了最多的剁手党。嗯，雪球就这样滚出来了。

交替最小二乘有这么几个好处：

1. 在交替的其中一步，也就是假设已知其中一个矩阵求解另一个时，要优化的参数是很容易并行化的；
2. 在不那么稀疏的数据集合上，交替最小二乘通常比随机梯度下降要更快地得到结果，事实上这一点就是我马上要说的，也就是关于隐式反馈的内容。

隐式反馈

矩阵分解算法，是为解决评分预测问题而生的，比如说，预测用户会给商品打几颗星，然后把用户可能打高星的商品推荐给用户，然而事实上却是，用户首先必须先去浏览商品，然后是购买，最后才可能打分。

相比“预测用户会打多少分”，“预测用户会不会去浏览”更加有意义，而且，用户浏览数据远远多于打分评价数据。也就是说，实际上推荐系统关注的是预测行为，行为也就是一再强调的隐式反馈。

那如何从解决评分预测问题转向解决预测行为上来呢？这就是另一类问题了，行话叫做One-Class。

这是什么意思呢？如果把预测用户行为看成一个二分类问题，猜用户会不会做某件事，但实际上收集到的数据只有明确的一类：用户干了某件事，而用户明确“不干”某件事的数据却没有明确表达。所以这就是One-Class的由来，One-Class数据也是隐式反馈的通常特点。

对隐式反馈的矩阵分解，需要将交替最小二乘做一些改进，改进后的算法叫做加权交替最小二乘：Weighted-ALS。

这个加权要从哪说起？用户对物品的隐式反馈，通常是可以多次的，你有心心念念的衣服或者电子产品，但是刚刚剁完手的你正在吃土买不起，只能每天去看一眼。

这样一来，后台就记录了你查看过这件商品多少次，查看次数越多，就代表你越喜欢这个。也就是说，行为的次数是对行为的置信度反应，也就是所谓的加权。

加权交替最小二乘这样对待隐式反馈：

1. 如果用户对物品无隐式反馈则认为评分是0；
2. 如果用户对物品有至少一次隐式反馈则认为评分是1，次数作为该评分的置信度。

那现在的目标函数在原来的基础上变成这样：

$$ \min_{q^{* },p^{* } } \sum_{(u,i) \in \kappa }{c_{ui}(r_{ui} - p_{u}q_{i}^{T})^{2} + \lambda (||q_{i}||^{2} + ||p_{u}||^{2})} $$

多出来的Cui就是置信度，在计算误差时考虑反馈次数，次数越多，就越可信。置信度一般也不是直接等于反馈次数，根据一些经验，置信度Cui这样计算：

$$ c_{ui} = 1 + \alpha C $$

其中阿尔法是一个超参数，需要调教，默认值取40可以得到差不多的效果，C就是次数了。

这里又引出另一个问题，那些没有反馈的缺失值，就是在我们的设定下，取值为0的评分就非常多，有两个原因导致在实际使用时要注意这个问题：

1. 本身隐式反馈就只有正类别是确定的，负类别是我们假设的，你要知道，One-Class并不是随便起的名字；
2. 这会导致正负类别样本非常不平衡，严重倾斜到0评分这边。

因此，不能一股脑儿使用所有的缺失值作为负类别，矩阵分解的初心就是要填充这些值，如果都假设他们为0了，那就忘记初心了。应对这个问题的做法就是负样本采样：挑一部分缺失值作为负类别样本即可。

怎么挑？有两个方法：

1. 随机均匀采样和正类别一样多；
2. 按照物品的热门程度采样。

请允许我直接说结论，第一种不是很靠谱，第二种在实践中经过了检验。

还是回到初心来，你想一想，在理想情况下，什么样的样本最适合做负样本？

就是展示给用户了，他也知道这个物品的存在了，但就是没有对其作出任何反馈。问题就是很多时候不知道到底是用户没有意识到物品的存在呢，还是知道物品的存在而不感兴趣呢？

因此按照物品热门程度采样的思想就是：一个越热门的物品，用户越可能知道它的存在。那这种情况下，用户还没对它有反馈就表明：这很可能就是真正的负样本。

按照热门程度采样来构建负样本，在实际中是一个很常用的技巧，我之前和你提到的文本算法Word2Vec学习过程，也用到了类似的负样本采样技巧。

推荐计算

在得到了分解后的矩阵后，相当于每个用户得到了隐因子向量，这是一个稠密向量，用于代表他的兴趣。同时每个物品也得到了一个稠密向量，代表它的语义或主题。而且可以认为这两者是一一对应的，用户的兴趣就是表现在物品的语义维度上的。

看上去，让用户和物品的隐因子向量两两相乘，计算点积就可以得到所有的推荐结果了。但是实际上复杂度还是很高，尤其对于用户数量和物品数量都巨大的应用，如Facebook，就更不现实。于是Facebook提出了两个办法得到真正的推荐结果。

第一种，利用一些专门设计的数据结构存储所有物品的隐因子向量，从而实现通过一个用户向量可以返回最相似的K个物品。

Facebook给出了自己的开源实现Faiss，类似的开源实现还有Annoy，KGraph，NMSLIB。

其中Facebook开源的Faiss 和NMSLIB（Non-Metric Space Library）都用到了ball tree来存储物品向量。

如果需要动态增加新的物品向量到索引中，推荐使用Faiss，如果不是，推荐使用NMSLIB或者KGraph。用户向量则可以存在内存数据中，这样可以在用户访问时，实时产生推荐结果。

第二种，就是拿着物品的隐因子向量先做聚类，海量的物品会减少为少量的聚类。然后再逐一计算用户和每个聚类中心的推荐分数，给用户推荐物品就变成了给用户推荐物品聚类。

得到给用户推荐的聚类后，再从每个聚类中挑选少许几个物品作为最终推荐结果。这样做的好处除了大大减小推荐计算量之外，还可以控制推荐结果的多样性，因为可以控制在每个类别中选择的物品数量。

总结

在真正的推荐系统的实际应用中，评分预测实际上场景很少，而且数据也很少。因此，相比预测评分，预测“用户会对物品干出什么事”，会更加有效。

然而这就需要对矩阵分解做一些改进，加权交替最小二乘就是改进后的矩阵分解算法，被Facebook采用在了他们的推荐系统中，这篇文章里，我也详细地解释了这一矩阵分解算法在落地时的步骤和注意事项。

其中，我和你提到了针对One-Class这种数据集合，一种常用的负样本构建方法是根据物品的热门程度采样，你能想到还有哪些负样本构建方法吗？欢迎留言一起讨论。感谢你的收听，我们下次再见。