这里的 P（至少出现一个第一类错误）的概率又叫做 FWER （Family-wise Error Rate）。
通过计算得出来的概率是64%。这就意味着当同时比较20个检验时，在这20个结果中，至少出现一个第一类错误的概率是64%。看看，这是不是个很大的概率了呢？事实上，随着检验次数的增加，这个概率会越来越大，你看看下面这个图就明白了。
你好，我是博伟。
上节课，我们讲了一个在做A/B测试时普遍存在的一个问题，那么接下来，我就根据自己这些年做A/B测试的经验，精选了一些在实际业务中会经常遭遇的误区，主要是多重检验问题、学习效应、辛普森悖论和实验/对照组的独立性这四大误区。
这四个误区，其实也可以被看作在实际业务中经常出现的几个问题。不过我在题目中之所以强调说这是误区，是因为你很可能会在这些问题的理解上产生一些偏差。
所以接下来我在讲这两节课时，会按照“问题阐述—问题解析—总结引申—课后思考”的范式来给你讲。也就是说，我会先带你深入剖析问题的成因，然后再举例分析这些问题在实践中的表现形式，最后给出对应的解决方法。
毕竟，在搞清楚问题原理的前提下，再学习问题的表现形式和解决方法，不仅你的学习效果会事半功倍，而且在实际应用时，你也能根据变化多端的业务场景，随机应变，灵活运用。
多重检验问题，又叫多重测试问题或多重比较问题（Multiple Comparison Problem），指的是当同时比较多个检验时，第一类错误率α就会增大，而结果的准确性就会受到影响这个问题。我在基础篇讲A/B测试流程时就多次提到过它，比如第4节课讲OEC的好处时，还有第7节课讲什么时间才能查看测试结果时。
要搞清楚多重检验为什么会是一个问题，我们还得先从第一类错误率α（又叫假阳性率，显著水平，是测试前的预设值，一般为5%）说起。我在第2节课也讲过，第一类错误率指的就是当事实上两组指标是相同的时候，假设检验推断出两组指标不同的概率，或者说由于偶然得到显著结果的概率。而且，它在统计上的约定俗成是5%。
5%看上去是个小概率事件，但是如果我们同时比较20个检验（测试）呢？你可以先思考一下，如果每个检验出现第一类错误的概率是5%，那么在这20个检验中至少出现一个第一类错误的概率是多少呢？
要直接求出这个事件的概率不太容易，我们可以先求出这个事件发生情况的反面，也就是在这20个检验中完全没有出现第一类错误的概率，然后再用100%减去这个反面事件的概率。
这里我们用P（A）来表示出现事件A的概率。P（每个检验出现第一类错误）=5%，那么P（每个检验不出现第一类错误） = （1-5%）=95%，所以P（20个检验中完全没有第一类错误）= 95%的20次方。
这样我们就可以求得这个概率：
这里的 P（至少出现一个第一类错误）的概率又叫做 FWER （Family-wise Error Rate）。
通过计算得出来的概率是64%。这就意味着当同时比较20个检验时，在这20个结果中，至少出现一个第一类错误的概率是64%。看看，这是不是个很大的概率了呢？事实上，随着检验次数的增加，这个概率会越来越大，你看看下面这个图就明白了。
图中的蓝线和橙线分别表示当α=5%和1%时，FWER的变化情况。根据这个图我们可以得出两个结论：
随着检验次数的增加，FWER，也就是出现第一类错误的概率会显著升高。
当α越小时，FWER会越小，上升的速度也越慢。
第一个结论讲的就是多重检验带来的问题。第二个结论其实为我们提供了一种潜在的解决方法：降低α。
这就意味着，当我们同时比较多个检验时，就增加了得到第一类错误的概率（FWER），这就变成了一个潜在的多重检验问题。
你可能会说我平时都是一个测试一个测试去跑，不会同时跑多个测试，是不是就不会遇到这个问题了呢？其实不是的，实践中出现多重检验问题比你想象的要普遍得多，它在实践中主要以4种形式出现。
第一种形式，当A/B测试有不止一个实验组时。
当我们想要改变不止一个变量且样本量充足时，我们可以不必等测试完一个变量后再去测试下一个，而是可以同时测试这些变量，把它们分在不同的实验组当中。
每个实验组只变化一个变量，在分析结果时分别用每个实验组和共同的对照组进行比较，这种测试方法也叫做A/B/n测试。比如我想要改变广告来提升其效果，那么想要改变的变量包括内容、背景颜色、字体大小等等，这个时候我就要有相对应的3个实验组，然后把它们分别和对照组进行比较。
这就相当于同时进行了3个检验，就会出现多重检验问题。
第二种形式，当A/B测试有不止一个评价指标时。
这个很好理解，因为我们分析测试结果，其实就是比较实验组和对照组的评价指标。如果有多个评价指标的话，就会进行多次检验，产生多重检验问题。
第三种形式，当你在分析A/B测试结果，按照不同的维度去做细分分析（Segmentation Analysis）时。
当我们分析测试结果时，根据业务需求，有时我们并不满足于只把实验组和对照组进行总体比较。
比如对于一个跨国公司来说，很多A/B测试会在全球多个国家同时进行，这时候如果我们想要看A/B测试中的变化对于各个国家的具体影响时，就会以国家为维度来做细分的分析，会分别比较单个国家中的两组指标大小，那么此时分析每个国家的测试结果就是一个检验，多个国家则是多个检验。
第四种形式，当A/B测试在进行过程中，你不断去查看实验结果时。
这种情况我在第7节课中提到过，因为当测试还在进行中，所以每次查看的测试都和上一次的不一样，每查看一次结果都算是一次检验，这样也会产生多重检验问题。
了解了多重检验问题在实践中的表现形式，那么在实践中该如何解决它呢？
首先我要提前说明的是，接下来我介绍的解决方法，只适用于前3种表现形式。对于第4种表现形式的解决办法，我已经在第7节课介绍了，那就是不要在A/B测试还在进行时就过早地去查看结果，一定要等样本量达到要求后再去计算结果，所以这里就不再赘述。
鉴于多重检验问题的普遍性，在统计上有很多学者提出了自己的解决方法，大致分为两类：
保持每个检验的P值不变，调整α。
保持α不变，调整每个检验的P值。
为什么会做这两种调整呢？
在第2节课，我们介绍了用P值来判断假设检验的结果是否显著时，是用检验中计算出的P值和α进行比较的。当P值<α时，我们才说结果显著。
所以，我们要么调整α，要么调整P值。前面我也说了，降低α是一种解决办法，最常用的调整α的方法是Bonferroni校正（Bonferroni Correction），其实很简单，就是把α变成α/n。
其中n是检验的个数。比如α=5%，那当我们比较20个检验时，校正之后的α=5%/20 = 0.25%，此时的FWER =$1-(1-0.25 \%)^{20}$ = 4.88% ，和我们最初设定的α=5%差不多。
Bonferroni校正由于操作简单，在A/B测试的实践中十分流行，但是这种方法只是调整了α，对于不同的P值都采取了一刀切的办法，所以显得有些保守，检测次数较少时还可以适用。
根据实践经验，在检测次数较大时（比如上百次，这种情况在A/B测试中出现的情况一般是做不同维度的细分分析时，比如对于跨国公司来说，有时会有上百个markets）， Bonferroni校正会显著增加第二类错误率β，这时候一个比较好的解决办法就是去调整P值，常用的方法就是通过控制FDR（False Discovery Rate）来实现。
控制FDR的原理比较复杂，我就不展开讲了，你只需要记住它指的是一类方法，其中最常用的是BH法（Benjamini-Hochberg Procedure）就行了。BH法会考虑到每个P值的大小，然后做不同程度的调整。大致的调整方法就是把各个检验计算出的P值从小到大排序，然后根据排序来分别调整不同的P值，最后再用调整后的P值和α进行比较。
实践中，我们一般会借助像Python这样的工具来计算，Python中的multipletests函数很强大，里面有各种校正多重检验的方法，其中就包括我们今天讲的Bonferroni校正和BH法，我们使用时只需要把不同的P值输入，选取校正方法，这个函数就会给我们输出校正后的P值。
这里我总结一下，虽然Bonferroni校正十分简单，但由于过于严格和保守，所以在实践中我会更推荐使用BH法来矫正P值。
聊完了多重检验问题，我们再聊一下A/B测试中另一个常见问题——学习效应。
当我们想通过A/B测试检验非常明显的变化时，比如改变网站或者产品的交互界面和功能，那些网站或者产品的老客户往往适应了之前的交互界面和功能，而新的交互界面和功能对他们来说需要一段时间来适应和学习。所以往往老用户在学习适应阶段的行为会跟平时有些不同，这就是学习效应。
根据不同的改变，老用户在学习适应期的反应也不同，一般分为两种。
第一种是积极的反应，一般也叫做新奇效应（Novelty Effect），指的是老用户对于变化有很强的好奇心，愿意去尝试。
比如把点击按钮的颜色，由之前的冷色调变成了非常艳丽的大红色，在短期内可能会使诸如点击率之类的指标提升，但是当用户适应了新的大红色后，长期的指标也可能回归到之前的水平。
第二种是消极的反应，一般也叫做改变厌恶（Change Aversion）。指的是老用户对于变化比较困惑，甚至产生抵触心理。
比如你经常光顾的电商网站，之前的加入购物车功能是在屏幕的左上方，但是交互界面改变后加入购物车的位置变到了屏幕的右下方，这个时候你可能就需要在屏幕上找一阵子才能找到，甚至找了一圈没找到，因为烦躁就关掉了页面，那么这时候短期的指标就会下降。
可以想象，这些在学习适应期的不同反应一般是短期的，长期来看这些短期反应也是会慢慢消退的。但是要注意的是，这些短期的学习效应确实会给A/B测试的结果带来干扰，使结果变得过于好或者过于差。那么我们如何来及时发现学习效应，从而剔除学习效应带来的干扰呢？
在实践中，主要有两种方法可以用来检测学习效应。
第一种方法是表征实验组的指标随着时间（以天为单位）的变化情况。
在没有学习效应的情况下，实验组的指标随着时间的变化是相对稳定的。
但是当有学习效应时，因为学习效应是短期的，长期来看慢慢会消退，那么实验组（有变化的组）的指标就会有一个随着时间慢慢变化的过程，直到稳定。
当然我们在使用这个方法时需要注意：随着时间表征实验组的指标变化，但并不是让你每天去比较实验组和对照组的大小。如果每天都去比较，就会出现我们刚才讲的多重检验的问题。一定要记住，只有达到样本量之后才可以去比较两组大小，分析测试结果。
第二种方法是只比较实验组和对照组中的新用户。
学习效应是老用户为了学习适应新的变化产生的，所以对于新用户，也就是在实验期间才第一次登录的用户来说，并不存在“学习适应新的变化”这个问题，那么我们可以先在两组找出新用户（如果是随机分组的话，两组中新用户的比例应该是相似的），然后只在两组的新用户中分别计算我们的指标，最后再比较这两个指标。
如果我们在新用户的比较中没有得出显著结果（在新用户样本量充足的情况下），但是在总体的比较中得出了显著结果，那就说明这个变化对于新用户没有影响，但是对于老用户有影响，那么大概率是出现了学习效应。
在实践中我们可以用以上方法检测出学习效应，不过要想真正排除学习效应的影响，得到准确的实验结果，还是要延长测试时间，等到实验组的学习效应消退再来比较两组的结果。
今天这节课我们重点讲解了A/B测试中两个常见的实验误区：多重检验问题和学习效应。我把这两个问题出现的原理、在实践中的多种表现形式，以及相应的解决方法，都给你详细讲解了。
不过我还想特别强调一下多重检验问题。多重检验问题的表现形式多种多样，所以在A/B测试中尤为常见。我在刚接触A/B测试时就已经知道了这个问题的存在，不过当时了解到的是它会在A/B/n测试中出现，但后来才发现，原来在做细分分析时也会出现多重检验的问题。
幸好这个问题发现得及时，才没有让整个测试功亏一篑。现在再去复盘，主要还是因为当时只知道多重检验问题的存在，了解其中一两个表现形式。但对于为什么会出现多重检验问题，什么时候可能会出现多重检验问题，我都不清楚，所以在问题出现新的表现形式时就没有及时识别出来。
这也是我想要跟你强调的，知道为什么会出现这个问题，并且发现问题，和解决问题同样重要。
思考题
结合自己的经验，想一想过去有没有在A/B测试中遇到多重检验问题和学习效应？以及当时是如何处理的呢？
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